สมการความเค้นอย่างง่าย:
รายวิชากลศาสตร์วัสดุ (mechanics of materials) เป็นรายวิชาหนึ่งที่มีความสำคัญมากในการศึกษาทางด้านวิศวกรรมที่เกี่ยวเนื่องกับการออกแบบชิ้นส่วนทางกลรายวิชานี้มีวัตถุประสงค์หลักก็เพื่อให้นักศึกษานำความรู้จากเนื้อหาที่ได้เรียนไปประยุกต์ใช้ในการออกแบบชิ้นส่วนดังกล่าวให้สามารถรับภาระได้ตามต้องการ

เรามักจะเริ่มต้นศึกษารายวิชาดังกล่าวด้วยเรื่อง ความเค้นและจะได้บทสรุปในรูปสมการความเค้นตั้งฉากเฉลี่ย

\dpi{80} \fn_cm \small \sigma _{\text{ave}}=\frac{F}{A}
สมมติฐานหลักในการนำสมการความเค้นเฉลี่ยไปใช้งาน คือ ความเค้นจะต้องมีการกระจายตัวแบบเอกรูปทั่วทั้งพื้นที่หน้าตัด กล่าวคือ หากเราตัดพื้นที่ส่วนใดส่วนของชิ้นส่วนที่ห่างจากปลายและนำออกมา พิจารณาแล้ว เราสามารถแทนผลของความเค้นนั้นด้วยแรงที่มีขนาดเท่ากับ หากพิจารณาโดยละเอียดแล้วจะพบว่า สมมติฐานหลักเป็นเพียงเงื่อนไขจำเป็นเท่านั้น ซึ่งยังไม่เพียงพอที่จะทำให้คำกล่าวที่ว่า “ความเค้นจะต้องมีการกระจายตัวแบบเอกรูปทั่วทั้ง พื้นที่หน้าตัด” เป็นจริง ดังนั้น จึงต้องมีสมมติฐานรองหรือเงื่อนไขเพียงพอเพิ่มเติม ดังนี้ 

  • ชิ้นส่วนจะต้องมีหน้าตัดเท่ากันตลอดความยาว (prismatic member)
  • ชิ้นส่วนนั้นทำจากวัสดุเอกพันธ์ (homogeneous material)
  • แรงที่กระทำต้องผ่านจุดเซนทรอยด์ (centroid) ของหน้าตัดของชิ้นส่วน
  • หน้าตัดที่พิจารณาจะต้องอยู่ห่างจากจุดที่แรงกระทำ (points of applied force), จุดรองรับ (supports) และบริเวณที่เกิดความไม่ต่อเนื่อง (discontinuity) หรือการเปลี่ยนแปลงพื้นที่หน้าตัดอย่างทันทีทันใด (abrupt change of cross sections)
  • ชิ้นส่วนจะต้องมีเสถียรภาพสมดุลสถิต (static stability) ภายใต้การกระทำของแรง
 
จากสมมติฐานที่ได้กล่าวมาทั้งหมด ก็พอจะสรุปได้ว่า หากนำสมการความเค้นเฉลี่ยไปใช้ในสภาวะที่ส่งผลให้สมมติฐานเพียงข้อใดข้อหนึ่งไม่เป็นจริง ก็จะทำให้เกิดความผิดพลาดขึ้นในค่าความเค้นที่คำนวณได้
 
พิจารณาสมมติฐานรองทั้งหมดที่กล่าวข้างต้นจะพบว่า สมมติฐานลำดับที่ 4 ทำให้เกิดข้อสงสัยมากที่สุด ทั้งนี้เนื่องด้วยมีคำถามที่ว่า
 
1) เหตุใดจึงไม่สามารถใช้สมการความเค้นเฉลี่ย ณ จุดที่แรงกระทำ จุดรองรับและบริเวณที่เกิดความไม่ต่อเนื่องหรือบริเวณที่มีการเปลี่ยนแปลงพื้นที่หน้าตัดอย่างทันทีทันใดได้?
2) หากไม่สามารถใช้สมการความเค้นเฉลี่ยได้แล้ว เราจะทำอย่างไร? และ
3) การกระจายตัวของความเค้นบริเวณ จุดที่แรงกระทำ จุดรองรับ และบริเวณที่เกิดความไม่ต่อเนื่อง จะมีลักษณะเป็นเช่นไร?
 
หนังสือหลายเล่มได้กล่าวถึงทฤษฎีที่ว่าด้วยเรื่อง ความเค้นหนาแน่น (stress concentration) ซึ่งสามารถสรุปได้ว่า ความเค้น ณ บริเวณต่าง ๆ (ดูคำถามข้อ 1 ข้างบน) จะมีค่าสูงกว่าที่คำนวณได้จากสมการความเค้นเฉลี่ย โดยที่สัดส่วนการสูงขึ้นนี้สามารถหาได้โดยอาศัยค่าตัวประกอบความหนาแน่นของความเค้นเชิงทฤษฎี (theoretical stress concentration factors) เรื่องความหนาแน่นของความเค้นนี้เป็นคำตอบสำหรับคำถามข้อ 1 และ 2 สำหรับคำถามข้อ 3 นั้นสามารถตอบได้โดยอาศัยหลักการของเซนต์วีแนนต์
 
หลักการเซนต์วีแนนต์:
หลักการดังกล่าวมีใจความว่า "หากมีระบบแรงหนึ่ง ๆ กระทำบนอาณาบริเวณจำกัดที่หนึ่งของวัตถุแล้ว ลักษณะการกระจายตัวของความเค้นในวัตถุที่เป็นผลมาจากระบบแรงดังกล่าว ณ อาณาบริเวณอื่นใดที่อยู่ห่างจากอาณาบริเวณจำกัดเป็นระยะทางที่ยาวเพียงพอ จะขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ของระบบแรงเท่านั้นไม่ขึ้นอยู่กับลักษณะของระบบแรง" คำว่า “ระยะทางที่ยาวเพียงพอ” โดยส่วนใหญ่แล้วเราอาจจะพิจารณาให้เป็นมิติเชิงรูปร่างที่ใหญ่ที่สุดของอาณาบริเวณจำกัดที่ระบบแรงกระทำหลักการของเซนต์วีแนนต์ไม่มีรูปแบบสมการทางคณิตศาสตร์ที่แน่ชัด ทั้งนี้เนื่องด้วยไม่สามารถแสดงความหมายของคำว่า “ระยะทางที่ยาวเพียงพอ” ออกมาเป็นสมการทางคณิตศาสตร์ได้ อย่างไรก็ตาม หลักการของเซนต์วีแนนต์สามารถใช้ทำนายหรือยืนยันผลลัพธ์ที่ได้จากวิธีการทดลองและวิธีเชิงเลขได้อย่างถูกต้องในหลาย ๆ กรณี หลักการนี้มีประโยชน์อย่างมาก เนื่องด้วยทำให้สามารถลดความซับซ้อนในการคำนวณลงหากระบบแรงที่กระทำมีความซับซ้อน นอกจากนี้หลักการดังกล่าวยังเป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์ต่อการพัฒนาการหาผลเฉลยเชิงทฤษฎีของปัญหาในทฤษฎีสภาพยืดหยุ่นและกลศาสตร์วัสดุชั้นสูง
 
พิจารณารูปภาพด้านบน ซึ่งเป็นรูปของรอยแตกร้าวที่เกิดขึ้นในชิ้นทดลองพลาสติกใสที่มีรูกลมตรงกลางที่เคลือบด้วยสีทาเล็บ ผลเฉลยของปัญหานี้ผู้อ่านสามารถค้นคว้าเพิ่มเติมได้ในหนังสือเกี่ยวกับทฤษฎีสภาพยืดหยุ่นในเรื่องของ ปัญหาแผ่นบางขนาดจำกัดมีรูกลมตรงกลางรับแรงดึงในแนวแกน (a finite plate with a central hole under uniaxial tension) ในขณะทำการทดลองชึ้นงานดังกล่าวจะได้รับแรงดึงตามแนวแกนที่ค่าหนึ่ง ซึ่งไม่ทำให้ชิ้นทดลองเกิดการแตกหัก จากนั้นทำการทาน้ำยาทาเล็บลงไปให้ทั่วทั้งพื้นที่ หลังจากนั้นจะเริ่มมีรอยแตกร้าวเกิดขึ้นและในระหว่างก็ให้ลดขนาดของแรงดึงลงไปเรื่อยๆ และปล่อยให้ค้างอยู่เช่นนั้นชั่วระยะเวลาหนึ่งก็ลดขนาดของแรงดึงอีก ทำเช่นนี้ไปเรื่อยจนไม่มีแรงกระทำต่อชิ้นทดลอง
 
จากรูปข้างบน ผู้อ่านจะสังเกตเห็นถึงความแตกต่างระหว่างรอยแตกร้าวที่ตำแหน่งต่างๆ กัน รอยแตกร้าวจะตั้งฉากกับขอบด้านนอกของชิ้นทดลองและขอบด้านในของรูกลม รอยแตกร้าว ณ บริเวณใกล้ๆ รูกลมจะมีลักษณะโค้ง และจะค่อยๆ กลายเป็นเส้นตรงในแนวดิ่งที่ระยะหนึ่งๆ ห่างจากขอบของรูกลม
 
พิจารณารูปอีกครั้ง ผู้อ่านสามารถตอบคำถามต่อไปนี้ได้หรือไม่?
  1. บริเวณใดในรูปภาพที่สอดคล้องกับหลักการเซนต์วีแนนต์?
  2. เหตุใดแนวรอยแตกร้าวจึงเป็นเส้นโค้ง ณ บริเวณใกล้ขอบของรูกลม? และ
  3. เราสามารถประยุกต์ใช้สมการความเค้นเฉลี่ยในการทำนายความเค้นได้ ณ บริเวณใดได้บ้าง และเพราะเหตุใด?

 

การไหลของความเค้น:
พิจารณารูปภาพด้านบนอีกครั้ง เราจะเห็นได้ว่ารอยแตกร้าวจะอยู่ในแนวตั้งฉากกับแนวแรงดึงที่กระทำต่อชิ้นทดลอง เนื่องจากชิ้นทดลองรับแรงดึงในแนวแกนเดี่ยว ดังนั้น ความเค้นฉากสูงสุดหรือความเค้นหลักก็จะมีค่าเท่ากับความเค้นฉากในแนวแกนเดี่ยวนั้น

หากเราวาดเส้นอีกชุดหนึ่งที่ตั้งฉากกับรอยแตกในรูปทุกๆ จุด เราก็จะพบว่าเส้นที่วาดนั้นจะแสดงการไหลของแรงหรือความเค้นจากฝั่งหนึ่งไปยังอีกฝั่งหนึ่งหรือจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง โดยที่ลักษณะของเส้นจะมีความโค้งอ้อมขอบของวงกลม (ดูรูปที่สองทางด้านขวามือ) หากเราเปรียบเทียบการไหลของแรงหรือความเค้นกับการไหลของของเหลวเช่น น้ำแล้ว ก็จะพบว่า เส้นที่เราวาดขึ้นนั้นคือ เส้นสายธาน (stream line) และรอยแตกในรูปด้านบนนั้น คือ เส้นศักย์การไหล (potential line)

โดยหลักแล้ว เมื่อวัตถุได้รับแรงกระทำแล้วจะเกิดการไหลของแรง (force flow) เนื่องจากในการวิเคราะห์แรงต่างๆ นั้น เราจะอาศัยสมการสมดุลแรง มิใช่สมดุลความเค้น อย่างไรก็ตาม การที่จะเรียกว่าการไหลของความเค้นก็มิผิดแต่อย่างใด เนื่องด้วยความเค้นจะมีการแปรเปลี่ยนค่าไปเรื่อยตามลักษณะทางเรขาคณิตหรือรูปร่างของวัตถุ ดังนั้นจากรูปรอยแตกร้าวด้านบน หากเรากำหนดเส้นการไหลจำนวนหนึ่งที่มีระยะห่างระหว่างเส้นการไหลค่าๆ หนึ่ง และเมื่อเส้นเหล่านี้เคลื่อนที่ผ่านบริเวณรูกลม เส้นเหล่านี้ก็จะเบียดตัวเข้าหากันเพื่อที่จะส่งผ่านแรงไปให้ได้ การที่เส้นเหล่านี้เบียดตัวเข้าหากันเป็นผลให้ระยะห่างระหว่างเส้นลดลง ณ บริเวณนี้ ความเค้นก็จะมีค่าสูงขึ้น ซึ่งก็นำไปสู่การเกิดขึ้นของ ความหนาแน่นของความเค้น (stress concentration) นั่นเอง กล่าวคือ ยิ่งเส้นเหล่านี้เบียดกันมากขึ้นเท่าใด ความหนาแน่นของความเค้นก็ํจะมีค่าสูงขึ้น ซึ่งการสูงขึ้นของความเค้นนี้สามารถสะท้อนออกมาด้วย ค่าตัวประกอบความหนาแน่นของความเค้น (stress concentration factor)

รูปที่สามแสดงภาพนักศึกษาที่กำลังวาดภาพแนวเส้นการไหลของแรงหรือความเค้นที่เกิดขึ้นในคานที่มีจุดรองรับอย่างง่ายรับแรงเข้มกดตรงกลางคาน จากข้อความที่กล่าวข้างต้นว่า "แรงจะไหลจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง" นักศึกษาหรือผู้อ่านสามารถตอบได้หรือไม่ว่า แรงหรือความเค้นจะไหลจากจุดใดไปยังจุดใด?

free vector